Barisan dan Deret Aritmatika Tingkatan SMA

Barisan dan Deret Aritmatika

A. Barisan Aritmatika

Barisan merupakan urutan dari suatu anggota-anggota himpunan berdasarkan suatu aturan tertentu. Setiap anggota himpunan diurutkan pada urutan/suku pertama, kedua, dan seterusnya. Untuk menyatakan urutan/suku ke-n dari suatu barisan dinotasikan

. Barisan juga dapat didefinisikan sebagai fungsi dari bilangan asli atau fungsi yang domainnya himpunan bilangan asli. Sehingga,

Misalkan

, maka suku ke-4 dari baris tersebut adalah

Penjumlahan suku-suku dari suatu barisan disebut deret. Penjumlahan suku-suku tersebut bisa dibuat dalam bentuk sigma. Barisan dari suku U₁, U₂, U₃, …, U_n yang dinyatakan dalam fungsi f(n) = U_n

memiliki deret sebagai:

$U_1 + U_2 + U_3 + \cdots + U_n = \sum \limits_{i=1}^{n} {U_i}$

Baris aritmatika merupakan baris yang nilai setiap sukunya didapatkan dari suku sebelumnya melalui penjumlahan atau pengurangan dengan suatu bilangan b. Selisih antara nilai suku-suku yang berdekatan selalu sama yaitu b. Sehingga: $U_n - U_{(n - 1)} = b$

Sebagai contoh baris 1, 3, 5, 7, 9, merupakan baris aritmatika dengan nilai:

b = (9 – 7) = (7 – 5) = (5 – 3) = (3 – 1) = 2

Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan aritmatika dapat diketahui dengan mengetahui nilai suku ke-k dan selisih antar suku yang berdekatan (b). rumusannya berikut ini:

Jika yang diketahui adalah nilai suku pertama

dan selisih antar sukunya (b), maka nilai k = 1 dan nilai

adalah:

B. Deret Aritmatika

Deret aritmatika adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan aritmatika. Penjumlahan dari suku-suku petama sampai suku ke-n barisan aritmatika dapat dihitung sebagai:

Sn = U₁ + U₂ + U₃ + …. + U_(n-1)

atau sebagai:

Sn + a + (a + b) + (a + 2b) + …. + (a + (n - 2)b) + (a + (n - 1)b)

Jika hanya diketahui nilai a dalalah suku pertama dan nilai adalah suku ke-n, maka nilai deret aritmatikanya adalah:

Sn =

(a + Un)

Persamaan tersebut bisa dibalik untuk mencari nilai suku ke-n menjadi:

Sn = U₁ + U₂ + U₃ + …. +U_(n-1).

S_(n-1) = U₁ + U₂ + U₃ + …. + U_(n-1).

Sn - S_(n-1) = Un

Sehingga diperoleh Un = Sn - S_(n-1).

C. Sisipan

Jika hendak membuat sebuah baris aritmatika dengan telah diketahui nilai suku pertama (a) dan suku terakhirnya (p), dapat disisipkan sejumlah bilangan diantara keduan bilangan tersebut. Sejumlah bilangan (q buah) tersebut menjadi suku-suku baris aritmatika dan memiliki selisih antar suku beredekatan (b). Baris aritmatika tersebut memiliki jumah suku q + 2 dan diurut berupa:

a, (a + b), (a + 2b), (a + 3b), …, (a + q.b), (a + (q+1)b)

Diketahui bahwa suku terakhir:

(a + (q+1)b) = p

Maka, nilai b dapat ditentukan sebagai:

b =